Asteroiden und Meteoriten Mathematische und physikalische Grundlagen Simulations-Programm Impressum und Kontakt

 

 

 

 

Mathematische und physikalische Grundlagen

 

 

 

Häufigkeit der Meteoriden

 

Die Häufigkeit, mit der die Meteoriden auftreten, hängt von deren Größe ab. Sei dM die Größe des Meteoriden in Metern (genauer sein mittlerer Durchmesser), dann berechnet sich die Häufigkeit seines Auftretens empirisch zu:

Häufigkeit [pro Jahr] = 218,8 / dM[m]2,68

 

 

 

 

Kinetische Energie eines Meteoriden

 

 

Bei hohen Energien mit über 1012 J = 1 Tera-Joule können folgende Vergleichsgrößen herangezogen werden:

 

Die Masse M des Meteoroiden in kg berechnet sich über sein Volumen und seiner Dichte.

Sie beträgt: M [kg] = 1/6 * ρ * π * dM[m]3.

Daraus errechnet sich die kinetische Energie zu: EKin [J]  =  ½ * M *v2       =     1/12 * ρ * π * dM[m]3 * v2

Die Sprengkraft von 1 Kilo-Tonne TNT entspricht 4,185 * 1012J.
Die Sprengkraft der Hiroshima-Atombombe entspricht 15 Kilo-Tonnen TNT = 6,278 * 1013J
Die Sprengkraft von 1 Wasserstoff-Bombe = 4000 Hiroshima-Atombomben entspricht 60 Mega-Tonnen TNT

= 2,511 * 1017 J


Die Sprengkraft aller derzeitigen Kernwaffen der Welt entspricht 8 * 1019J = 300 Wasserstoff-Bomben

 

 

 

Dichte der Erdatmosphäre 

Die Dichte der Erdatmosphäre nimmt mit der Höhe exponentiell ab. Alle 5,5 km Höhenunterschied halbiert sich der Luftdruck. Für die Standardatmosphäre gilt eine Bodentemperatur von 15°C und 1013,25 hPa Luftdruck. Die Temperatur nimmt mit der Höhe um ca. 0,5 bis 1,0 °C pro 100 m Höhendifferenz ab. Für Höhen bis zu 11.000 m kann man die internationale Höhenformel verwenden:

ρL [kg/m3 ]=1,2255 * (1 - 6,5 * Höhe [m] / 288000)4,255 * (1 + Höhe [m] / 5000000).

Für größere Höhen müssen abschnittsweise andere Formeln verwendet werden.

 

Aus nebenstehendem Diagramm kann man entnehmen, wie sich die Dichte der Erdatmosphäre mit der Höhe verhält.

Dichte der Erdatmosphäre

 

Geschwindigkeitsänderung des Meteoroiden

 

In Abhängigkeit von der Höhe über dem Erdboden, der Größe des Meteoroiden und der Dichte der Erdatmosphäre erfährt der Meteoroid eine zusätzliche Beschleunigung durch die Schwerkraft der Erde und einen Abbremseffekt durch die Reibung in der Erdatmosphäre.

 

Mit dem Erdradius RE = 6378,4 km und der Erdbeschleunigung g0 = 9,80665 am Erdboden berechnet sich 

die momentane Erdbeschleunigung g zu: g (Höhe) = g0 * RE2/ (RE + Höhe)2

Mit Hilfe des Widerstandsbeiwertes cw des Meteoroiden, seiner Geschwindigkeit v, seinem Querschnittsdurchmesser dQ und seiner Masse M berechnet sich die momentane Bremsbeschleunigung aB des Meteoroiden zu:

aB = cw * π * dQ2 * ρL * v2 / (4 * M)

Die momentane Gesamtbeschleunigung ist somit: a = g (Höhe) - aB.

 

Abplattung

 

 

Beim Flug durch die Erdatmosphäre wird der Meteoroid aufgrund der starken Bremskräfte zunehmends deformiert. In Bewegungsrichtung wird der Körper immer flacher, quer zur Beobachtungsrichtung dehnt er sich jedoch aus, wodurch sich die Querschnittsfläche bezüglich der angreifenden Bremskraft erhöht und dadurch der Bremseffekt noch weiter verstärkt wird. Zu kleine Meteoriten verglühen bereits, bevor sie merklich abgeplattet werden könnten; zu große Meteoriten schlagen auf, bevor sie eine merkliche Abbremsung erfahren. Mittelgroße Meteoroiden aber erfahren eine rapide Abbremsung. Ungeheure Kräfte zerren an ihnen, nach einiger Zeit sind sie um ein Vielfaches abgeplattet als zu Beginn. Es wird eine Stabilitätsgrenze erreicht, bei deren Überschreiten, der Meteoroid auseinanderfällt – er explodiert.

Je nach Typ des Meteoroiden, d.h. je nach Material, aus dem er besteht, weist er eine Materialkonstante, das sogenannte Elastizitätsmodul є auf.

Die Deformierung beginnt ab dem Zeitpunkt, an dem der durch die Bremskraft hervorgerufene Oberflächendruck das Elastizitätsmodul, also die Festigkeitsgrenze erstmals überschreitet.


Der Oberflächendruck berechnet sich zu: POF = 1/4 * cw * ρL * v2 / 4.

Sobald POF ≥ є ist, berechnet sich die Wachstumsrate der Querschnittsfläche zu Δŕw = POF / (ρM * dQ).
Innerhalb der Zeitdifferenz Δt erhöht sich der Querschnittsdurchmesser dQ um den Betrag

Δrz = ½ * Δŕw * Δt² + Δŕw * Δt auf den Wert dQ= dQ (vorher)+ Δrz

 

Dementsprechend verringert sich der Längs-
schnittdurchmesser dL gemäß dL = dM3 / dQ2.

Daraus ergibt sich der Abplattungsgrad ε zu
ε = dL / dQ = dM3 / dQ3

Spätestens wenn der Abplattungsgrad in etwa den Wert 0,1 unterschreitet, meist aber schon deutlich vorher, ist die Stabilitätsgrenze erreicht, bei der der Meteoroid auseinanderbricht.

 

 

 

Helligkeiten



Die Helligkeit des Objekts setzt sich aus zwei Teilen zusammen:


       1) Ähnlich Mond und Planeten reflektiert es teilweise das empfangene Sonnenlicht, wenn es auf der

           Tagseite der Erde in Erscheinung tritt. Je größer das Objekt ist und je näher er zum Beobachter ist,

           desto heller erscheint er.

       2) Durch die Reibung während seines Fluges durch die Erdatmosphäre ionisiert er die ihn umgebende

           Luft und regt sie zum Leuchten an. Auch hier gilt: Je größer das Objekt ist, je schneller es durch die

           Atmosphäre fliegt und je dichter diese ist, desto heller erscheint er.

Drückt man diese Helligkeiten in der astronomischen Magnitudenskala aus, ergibt sich die Reflektionshelligkeit H1 zu:

H1 = 3,4 – 2,5 * log10(π * dM2 * ρL * v2)

Die Ionisierungshelligkeit H2 berechnet sich hingegen zu:

H2 = -12,5 - 5 * log10(108,1 * π * dM2 / Höhe)

Beide Helligkeiten zusammen ergeben die Gesamthelligkeit, unter der das Objekt dem Beobachter erscheint. Hierbei ist aber zu beachten, dass H1 und H2 jeweils logarithmische Größen sind, d.h. die Gesamthelligkeit H berechnet sich nicht zu H = H1 + H2 , sondern zu:

H = -2,5 * log10(10-0,4*H1 + 10-0,4*H2)


 

Rechts sehen Sie, über wie viele astronomische Größenklassen sich die Helligkeiten der Objekte am Himmel erstrecken. Beachten Sie die logarithmische Skala auf der nach oben weisenden Achse: Jedes Kästchen bedeutet hier eine Multiplizierung mit dem Faktor 100 !

 

Kratergrößen


Es gilt zwischen zwei Kratern zu unterscheiden, dem unmittelbar beim Einschlag entstehenden Primär-Krater und dem kurz darauf entstehenden Sekundär-Krater, der ja nach Größe ein einfacher oder komplexer Krater sein wird.
Die Größe beider Krater richtet sich nach der Energie des einschlagenden Meteoriten und dem Material am Ort des Einschlags.

Mit der Energie EKin [J] des Meteoriten ergibt sich die Größe des Primär-Kraters zu dPK[m] = EKin[J]1/3 / 375 im Falle eines Einschlags in Feldgestein. Die Tiefe ergibt sich zu ungefähr tPK[m] = 0,3 * dPK[m].

Nach einigen Umformungsprozessen verbreitert sich der Krater und der Boden hebt sich an. Es entsteht der Sekundärkrater. Ab einer Größe von mehreren Kilometern kann dieser einen komplexen Krater mit Zentralberg ausbilden.

Seine Maße sind: dSK[m] ≈ 10 * dPK[m] / 7.
Die Tiefe berechnet sich bei kleineren Kratern kleiner ca. 2 km zu: tSK[m] = 0,237 * dSK0,971.
Bei größeren Kratern wird sie zu: tSK[m] = 37,362 * dSK0,3
Der dabei entstehende Zentralberg wird etwa HZB = dSK / 9,8 m hoch.

Bei einem Einschlag in Felsgestein kann man bei den üblichen Geschwindigkeiten als Faustregel verwenden, dass der Durchmesser des Sekundärkraters etwa dem 20-fachen Objekt-Durchmesser (im Moment des Einschlags) entspricht.


Das im Krater befindliche Material wird bis zur Auswurfweite geschleudert, welche sich ergibt aus:

Wa[m] = 0,88 * EKin[J]1/4.



Höhe und Geschwindigkeit der Flutwelle



Tsunamis können bei Seebeben, unterseeischen Vulkanausbrüchen, Erdrutschen ins Meer hinein oder auch durch Meteoriteneinschläge entstehen.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Höhenamplitude der Tsunami-Wellen ist abhängig von der lokalen Meerestiefe und errechnet sich zu:

VTsunami [km/h] = 11,16 * tiefe[m]1/2.

Auf dem offenen Meer sind Tsunami-Wellen also viele hundert Stundenkilometer schnell, die Wellenlänge ist kilometergroß und die Höhenamplitude meist relativ gering. Nähert sich die Welle den Küsten, wird die Wassertiefe immer flacher und die Welle damit langsamer. Jedoch drängen von weiter draußen auf dem Meer die immer noch schnelleren Wellen nach, so dass sich die Wellenberge immer mehr auftürmen, je näher sie der Küste kommen. Bei einer Meerestiefe von 5000 m ist die Tsunami-Welle 789 km/h schnell, bei 1000 m Meerestiefe nur noch 353 km/h und bei 10 m tiefem Wasser kurz vor der Küste gar nur noch 35 km/h. Die Welle ist gegenüber vorher etwa 20 mal langsamer, dafür aber auch 20 mal so hoch.
Bei einem Meteoriteneinschlag ist die zu erwartende Höhe des Wellenberges an der Küste nur abhängig von der Einschlagsenergie EKin des Meteoriten und beträgt etwa

HTsunami, Küste [m] = EKin[J]1/4 / 300.

 


Erdbebenstärke



Die Erdbebenstärke auf der Richterskala berechnet sich aus der Energie des Einschlags bzw. der Druckwelle zu:

Ri = 0.677 * log10(EKin[J] + 158000) - 5